Question

18．已知点F是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过F点作双曲线的一条渐近线垂线，垂足为A，交另一条渐近线于B，若A点恰好为BF的中点，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 设双曲线的一条渐近线方程为：y=$\frac{b}{a}x$，则另一条渐近线方程为：y=-$\frac{b}{a}x$，设A（m，$\frac{bm}{a}$），B（n，-$\frac{bm}{a}$），利用A为BF的中点，FA⊥OA，求出b²=3a²，然后求解离心率即可．

解答 解：不妨设双曲线的一条渐近线方程为：y=$\frac{b}{a}x$，
则另一条渐近线方程为：y=-$\frac{b}{a}x$，设A（m，$\frac{bm}{a}$），B（n，-$\frac{bm}{a}$），
因为F（c，0），A为BF的中点，所以m=$\frac{c+n}{2}$，$\frac{bm}{a}=\frac{\frac{-bn}{a}}{2}$，
解得m=$\frac{1}{4}$，A（$\frac{c}{4}$，$\frac{bc}{4a}$），由FA⊥OA，可得：k_FA•k_OA=-1，
即：$\frac{\frac{bc}{4a}-0}{\frac{c}{4}-c}$•$\frac{b}{a}$=-1，即b²=3a²，解得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{{a}^{2}}$=2．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．