Question

已知y=f（x）为R上的可导函数，当x≠0时，f′（x）+

f(x)

x

＞0，则关于的函数g（x）=f（x）+

2

x

的零点个数为（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、0或 2

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断,函数零点的判定定理

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由题意，g（x）的零点与xg（x）的非零零点是完全一样的，讨论xg（x）的非零零点即可．

解答： 解：∵g（x）=f（x）+

2

x

，∴x≠0；
∴g（x）的零点与xg（x）的非零零点是完全一样的，
∵（xg（x））'=（xf（x））'=xf'（x）+f（x）
=x（ f'（x）+

f(x)

x

），
又∵f′（x）+

f(x)

x

＞0，
∴（0，+∞）上，xg（x）单调递增，
∵f（x） R上可导，∴f（x）在0处连续，
∴

lim

x→0

（ xf（x）+2）=2，
∴在（0，+∞）上没有g（x）的零点；
同理，在（-∞，0）上也没有g（x）的零点；
∴函数g（x）=f（x）+

2

x

的零点个数为0．
故选A．

点评：本题考查了根的存在性定理及函数的单调性的应用，属于中档题．