Question

已知f（x）=2xlnx，g（x）=-x²+ax-3，若存在x∈（0，+∞），使f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：计算题,导数的综合应用

分析：存在x∈（0，+∞），使f（x）≤g（x）成立，即2xlnx≤-x²+ax-3存在x∈（0，+∞）能成立．?a≥2lnx+x+

3

x

存在x∈（0，+∞）能成立，令h（x）=2lnx+x+

3

x

，利用导数研究其单调性极值最值即可．

解答： 解：存在x∈（0，+∞），使f（x）≤g（x）成立，即2xlnx≤-x²+ax-3存在x∈（0，+∞）能成立．
?a≥2lnx+x+

3

x

存在x∈（0，+∞）能成立，
令h（x）=2lnx+x+

3

x

，则h′（x）=

(x+3)(x-1)

x2

．
当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，此时函数h（x）单调递减；
当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，此时函数h（x）单调递增．
∴当x=1时，h（x）取得最小值4．因此a≥4．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、存在性问题的等价转化等基础知识与基本技能方法，属于中档题