Question

13．已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=$\frac{{a}_{n}^{2}+3{a}_{n}+2}{6}$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若a₂=4a₁，b_n=$\frac{3}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n＜$\frac{15}{16}$时自然数n的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系即可得出．
（2）由a₂=4a₁，可得a_n=3n-2，b_n=$\frac{3}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{3}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}$，利用“裂项求和”方法与不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=$\frac{{a}_{n}^{2}+3{a}_{n}+2}{6}$，∴a₁=$\frac{{a}_{1}^{2}+3{a}_{1}+2}{6}$，化为${a}_{1}^{2}-3{a}_{1}$+2=0，解得a₁=1或2．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{{a}_{n}^{2}+3{a}_{n}+2}{6}$-$\frac{{a}_{n-1}^{2}+3{a}_{n-1}+2}{6}$，化为：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-3）=0，
∵a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1=3．
∴数列{a_n}是等差数列，公差为3．
∴a_n=1+3（n-1）=3n-2，或a_n=2+3（n-1）=3n-1．
（2）∵a₂=4a₁，
∴a_n=3n-2，
∴b_n=$\frac{3}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{3}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}$，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$（1-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{4}-\frac{1}{7}）$+…+$（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）$=1-$\frac{1}{3n+1}$=$\frac{3n}{3n+1}$，
∴T_n＜$\frac{15}{16}$，即$\frac{3n}{3n+1}$＜$\frac{15}{16}$，化为：n＜5．
∴n的取值范围是：{1，2，3，4}．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”方法、不等式的性质、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．