Question

【题目】如图l，在正方形ABCD中，AB=2，E是AB边的中点，F是BC边上的一点，对角线AC分别交DE、DF于M、N两点．将ADAE，CDCF折起，使A、C重合于A点，构成如图2所示的几何体．
（I）求证：A′D⊥面A′EF；
（Ⅱ）试探究：在图1中，F在什么位置时，能使折起后的几何体中EF∥平面AMN，并给出证明．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）∵A′D⊥A′E，A′D⊥A′F，
又A′E∩A′F=A′，A′E面A′EF，A′F面A′EF，
∴A′D⊥面A′EF．
（Ⅱ）当点F为BC的中点时，EF∥面A′MN．
证明如下：当点F为BC的中点时，
在图（1）中，E，F分别是AB，BC的中点，
所以EF∥AC，
即在图（2）中有EF∥MN．
又EF面A′MN，MN面A′MN，
所以EF∥面A′MN．
【解析】（Ⅰ）由题意可得，A′D⊥A′E，A′D⊥A′F，A′E∩A′F=A′，利用线面垂直的判定定理即可证得结论；
（Ⅱ）当点F为BC的中点时，EF∥面A′MN．在图（1）中，E，F分别是AB，BC的中点，可得EF∥AC，而M∈AC，N∈AC，从而可得EF∥MN，继而有EF∥平面AMN．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用直线与平面平行的判定和直线与平面垂直的判定的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．