Question

已知平面α外一点P，PA⊥α，A为垂足，B，C均在平面α内，∠BAC=120°，PA=AB，求PB与AC所成角的大小．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：空间角

分析：如图所示，设＜

BP

，

AC

＞=θ．不妨设PA=AB=AC=1，由∠BAC=120°，可得BC=

3

．由PA⊥α，可得

PA

•

AC

=0.|

PB

|=

2

．利用数量积运算可得：

BP

•

PA

=-

PA

2=-1，

BP

•

AC

=

2

×1×cosθ=

2

cosθ．根据

BC

=

BP

+

PA

+

AC

，利用数量积运算性质即可得出．

解答： 解：如图所示，
设＜

BP

，

AC

＞=θ．
不妨设PA=AB=AC=1，
∵∠BAC=120°，
∴BC=

3

．
∵PA⊥α，
∴

PA

•

AC

=0.|

PB

|=

2

．

BP

•

PA

=-

PA

2=-1，

BP

•

AC

=

2

×1×cosθ=

2

cosθ．
∵

BC

=

BP

+

PA

+

AC

，
∴

BC

2=

BP

2+

PA

2+

AC

2+2

BP

•

PA

+2

BP

•

AC

+2

PA

•

AC

．
∴3=2+1+1-2+2

2

cosθ+0，
化为cosθ=

2

4

．
∴PB与AC所成角的大小为arccos

2

4

．

点评：本题考查了利用数量积运算求空间角、线面垂直的性质，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．