Question

已知动圆过定点，且与直线相切．
(1)求动圆的圆心轨迹的方程；
(2) 是否存在直线，使过点，并与轨迹交于两点，且满足
？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）动点的轨迹方程为；(2) 直线存在，其方程为．

（1）如图，设为动圆圆心， ，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：，
即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线  的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线， ∴ 动点的轨迹方程为；
（2）由题可设直线的方程为，
由得   
△，，
设，，则，，
由，即 ，，于是，
即，，
，解得或（舍去），
又，  
∴ 直线存在，其方程为．