Question

【题目】如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k，（k＞0）

（1）求证：CD⊥平面ADD1A1
（2）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为 ，求k的值
（3）现将与四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f（k），写出f（k）的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）

Answer 1

【答案】
（1）

证明：取DC的中点E，连接BE，∵AB∥ED，AB=ED=3k，

∴四边形ABED是平行四边形，

∴BE∥AD，且BE=AD=4k，∴BE2+EC2=（4k）2+（3k）2=（5k）2=BC2，∴∠BEC=90°，∴BE⊥CD，

又∵BE∥AD，∴CD⊥AD．

∵侧棱AA1⊥底面ABCD，∴AA1⊥CD，

∵AA1∩AD=A，∴CD⊥平面ADD1A1

（2）

解：以D为坐标原点， 、 、 的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，

则A（4k，0，0），C（0，6k，0），B1（4k，3k，1），A1（4k，0，1）．

∴ ， ， ．

设平面AB1C的一个法向量为 =（x，y，z），则 ，取y=2，则z=﹣6k，x=3．∴ ．

设AA1与平面AB1C所成角为θ，则 = = = ，解得k=1，故所求k=1．

（3）

解：由题意可与左右平面ADD1A1，BCC1B1，上或下面ABCD，A1B1C1D1拼接得到方案新四棱柱共有此4种不同方案．

写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出f（k）=

【解析】（1）取DC得中点E，连接BE，可证明四边形ABED是平行四边形，再利用勾股定理的逆定理可得BE⊥CD，即CD⊥AD，又侧棱AA1⊥底面ABCD，可得AA1⊥DC，利用线面垂直的判定定理即可证明．（2）通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与斜线的方向向量的夹角即可得出；（3）由题意可与左右平面ADD1A1 ， BCC1B1 ， 上或下面ABCD，A1B1C1D1拼接得到方案新四棱柱共有此4种不同方案．写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出f（k）．
【考点精析】利用直线与平面垂直的判定和空间角的异面直线所成的角对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．