Question

设{a_n}是等差数列，{b_n}是各项都为正数的等比数列，且a₁=b₁=1，a₃+b₅=19，a₅+b₃=9，则数列{a_nb_n}的前n项和S_n=

 

．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合,数列的求和

专题：计算题

分析：先根据等差数列、等比数列的通项，结合条件，可求数列{a_n}，{b_n}的通项公式，这样就可以利用错位相消法，求出数列{a_nb_n}的前n项和．

解答： 解：设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q，则由已知条件得

1+2d+q4=19① 1+4d+q2=9②

①×2-②：2q⁴-q²-28=0，∴q²=4
∵q＞0，∴q=2
代入②可得：d=1
∴a_n=n，b_n=2^n-1
令c_n=a_nb_n，则c_n=n×2^n-1
∴S=1+2×2+…+n×2^n-1①
①×2：2S=1×2+2×2²+…+n×2ⁿ②
①-②：-S=1+2+…+2^n-1-n×2ⁿ，
∴-S=

1-2n

1-2

-n×2ⁿ，
∴S=（n-1）•2ⁿ+1
故答案为：（n-1）•2ⁿ+1

点评：等差数列、等比数列通项的求解通常运用基本量法，求数列的和，一定要弄清数列通项的特征，从而选用适当的方法．