Question

【题目】如图所示，在四棱锥中，平面，， 是线段的中垂线， ，为线段上的点．

（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）若为的中点，求异面直线与所成角的正切值；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的大小．

Answer 1

【答案】(I)见解析；(II)；(III)

【解析】

（Ⅰ）根据线面垂直得线线垂直，再根据线线垂直得线面垂直，最后根据面面垂直判定定理得结论，（Ⅱ）先根据三角形中位线性质得线线平行，即得异面直线所成角的角或补角，再根据直角三角形求结果，（Ⅲ）作,根据线面垂直判定定理得面，即得线面角，最后根据直角三角形求结果.

（Ⅰ）面,面

又，面

又面面面

(II) 连结,分别为边的中点，

为异面直线与所成角或其补角

在中，

所以异面直线与所成角的正切值为.

(III) 连结，作交于点,

由(I)可知面 面 面面=

面面=

面，为斜线在面内的射影,

为线与面所成角, 在中，

直线与面所成角为.