Question

【题目】如图，三棱柱中， 平面， 分别为和的中点， 是边长为2 的正三角形， .

（1）证明： 平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2) .

【解析】试题分析：（1）取AB的中点H，连接HM，CH，证明四边形CDMH是平行四边形得出DM∥CH，从而有DM∥平面ABC；

（2）取BB1中点E，以E为原点建立坐标系，求出两半平面的法向量，计算法向量的夹角即可得出二面角的大小．

试题解析：（1）证明:取的中点，连接，

∵分别为和的中点，

∴， ，∴， ，

则四边形是平行四边形，则.

∵平面， 平面，∴平面；

（2）取中点，∵为等边三角形， ∴.

又平面， ，∴平面，

建立以为坐标原点， 分别为轴的空间直角坐标系如图:

则 ， ，

则设平面的法向量为， ， ，

则，即

令，则，即，

平面的法向量为， ， ，

则，得，即，

令，则，即，

则 ，

即二面角的余弦值是.