Question

6．已知函数f（x）=$\frac{2}{\sqrt{（1-{m}^{2}）{x}^{2}+3（1-m）x+6}}$，解答下列问题：
①若m=1时，试求函数f（x）的定义域与值域；
②若f（x）的定义域为R，求实数m的取值范围；
③若f（x）的定义域为（-2，1），求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 ①把m=1代入函数解析式，可得函数为常数函数，则函数f（x）的定义域与值域可求；
②由f（x）的定义域为R，可得（1-m²）x²+3（1-m）x+6＞0恒成立．然后分二次项系数为0和不为0求解；
③由f（x）的定义域为（-2，1），得（1-m²）x²+3（1-m）x+6＞0的解集是（-2，1），然后利用二次函数的开口方向结合方程的根列式求解．

解答 解：①当m=1时，f（x）=$\frac{2}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴函数f（x）的定义域为R，值域为{$\frac{\sqrt{6}}{3}$}；
②∵f（x）的定义域为R，
∴（1-m²）x²+3（1-m）x+6＞0恒成立．
当m=-1时不合题意，当m=1时，符合题意；
当m≠±1时，需$\left\{\begin{array}{l}{1-{m}^{2}＞0}\\{9（1-m）^{2}-24（1-{m}^{2}）＜0}\end{array}\right.$，
解得-1＜m＜1，
综合可得实数m的取值范围为（-1，1]；
③若f（x）的定义域为（-2，1），即（1-m²）x²+3（1-m）x+6＞0的解集是（-2，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-{m}^{2}＜0}\\{（1-{m}^{2}）（-2）^{2}+3（1-m）（-2）+6=0}\\{1-{m}^{2}+3（1-m）+6=0}\end{array}\right.$，解得：m=2．
∴使f（x）的定义域为（-2，1）的实数m的值为2．

点评 本题考查函数的定义域及其求法，考查了函数的值域，体现了数学转化思想方法，关键是对题意的理解，是中档题．