Question

下列说法正确的是

 

（请把你认为正确说法的序号都填上）．
①与

a

=（-3，4）共线的单位向量是（-

4

5

，

3

5

）；
②函数f（x）=cos²x+2sin²x的最小正周期为π；
③y=

1-x2

x+|3-x|

是偶函数；
④P是△ABC所在平面内一点，若

PA

•

PB

=

PB

•

PC

=

PC

•

PA

，则P是△ABC的垂心；
⑤若函数y=log

1

2

（x²-2ax+3）的值域为R，则a的取值范围是（-

3

，

3

）．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：综合题

分析：①与

a

=（-3，4）共线的单位向量有两个，判定命题①是错误的；
②化简函数f（x），求出它的最小正周期，判定命题②是否正确；
③求出函数y的定义域，判定函数y=f（x）的奇偶性，从而判定命题③是否正确；
④由

PA

•

PB

=

PB

•

PC

=

PC

•

PA

，得出

PB

⊥

CA

，

PC

⊥

AB

，即得P是△ABC的垂心，判定命题④正确；
⑤求出函数y=log

1

2

（x²-2ax+3）值域为R时，a的取值范围，判定命题⑤是否正确．

解答： 解：对于①，与

a

=（-3，4）共线的单位向量是（-

3

5

，

4

5

）和（

3

5

，-

4

5

），
∴命题①错误；
对于②，函数f（x）=cos²x+2sin²x=1+sin²x=

3

2

-

1

2

cos2x，它的最小正周期为π，
命题②正确；
对于③，函数y=

1-x2

x+|3-x|

的定义域是（-1，1），化简函数为y=f（x）=

1-x2

3

，
满足在定义域内f（-x）=f（x），
∴f（x）是偶函数，命题③正确；
对于④，在△ABC中，∵

PA

•

PB

=

PB

•

PC

=

PC

•

PA

，∴（

PA

-

PC

）•

PB

=0，即

CA

•

PB

=0，
∴

PB

⊥

CA

，同理

PC

⊥

AB

，
∴P是△ABC的垂心，命题④正确；
对于⑤，∵函数y=log

1

2

（x²-2ax+3）的值域为R，t=x²-2ax+3取遍所有的正数，
∴（-2a）²-4×1×3≥0，解得a≤-

3

，或a≥

3

，
即a的取值范围是（-∞，-

3

]∪[

3

，+∞），
∴命题⑤错误．
所以，以上正确的命题是②③④；
故答案为：②③④．

点评：本题考查了平面向量的应用，三角函数的图象与性质，函数的奇偶性与求值域的问题，解题时应对每一个选项进行分析，以便作出正确的选择．