Question

1．设数列{a_n}满足对任意m，n∈N^*总有a_m+n=a_ma_n成立，且a₁=2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}的前n项和为S_n，且b_n=log₂a_n，试求数列$\{\frac{1}{S_n}\}$的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）数列{a_n}满足对任意m，n∈N^*总有a_m+n=a_ma_n成立，且a₁=2．可得a_n+1=a₁a_n=2a_n，利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）b_n=log₂a_n=n．可得S_n，$\frac{1}{{S}_{n}}$=2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．再利用“裂项求和方法”即可得出．

解答 解：（1）数列{a_n}满足对任意m，n∈N^*总有a_m+n=a_ma_n成立，且a₁=2．
∴a_n+1=a₁a_n=2a_n，
∴数列{a_n}是等比数列，公比为2，∴a_n=2ⁿ．
（2）b_n=log₂a_n=n．
∴S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴数列$\{\frac{1}{S_n}\}$的前n项和T_n=2$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=2$（1-\frac{1}{n+1}）$
=$\frac{2n}{n+1}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、“裂项求和方法”、递推公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．