Question

9．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x中正半轴为极轴建立坐标系，直线l的极坐标方程为$ρsin（θ+\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}+rcosθ\\ y=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}+rsinθ\end{array}\right.（θ$为参数，r＞0）
（1）求直线l的普通方程以及圆心C的坐标；
（2）当r为何值时，圆C上的点到直线l的最大距离为3．

Answer 1

分析 （1）利用极坐标方程与直角坐标方程互化方法得到直线l的普通方程，利用圆的参数方程得当圆心C的坐标；
（2）圆心（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）到直线的距离d=$\frac{|-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}-1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$，利用圆C上的点到直线l的最大距离为3，求r．

解答 解：（1）直线l的极坐标方程为$ρsin（θ+\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，可得ρ（cosθ+sinθ）=1，
∴x+y-1=0；
由$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}+rcosθ\\ y=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}+rsinθ\end{array}\right.（θ$为参数，r＞0），可得圆心（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），极坐标为（1，$\frac{5π}{4}$）；
（2）圆心（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）到直线的距离d=$\frac{|-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}-1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$，
∵圆C上的点到直线l的最大距离为3．
∴$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$+r=3，
∴r=2-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．