Question

17．已知数列{a_n}满足a_n+1=2a_n+3•2ⁿ，a₁=2，则数列{a_n}的通项公式是（3n-1）•2^n-1．

Answer 1

分析 通过对a_n+1=2a_n+3•2ⁿ两边同时除以2ⁿ，从而构造出首项为2、公差为3的等差数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$}，进而计算可得结论．

解答 解：∵a_n+1=2a_n+3•2ⁿ，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n}}$=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$+3，
又∵$\frac{{a}_{1}}{{2}^{1-1}}$=2，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$}是首项为2、公差为3的等差数列，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$=2+3（n-1）=3n-1，a_n=（3n-1）•2^n-1，
故答案为：（3n-1）•2^n-1．

点评 本题考查数列的递推式，构造等差数列是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．