Question

设函数f（x）=x³-3ax+b（a≠0）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处与直线y=8相切，求a，b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值点．

Answer 1

分析：（1）已知函数的解析式f（x）=x³-3ax+b，把点（2，f（2））代入，再根据f（x）在点（2，f（2））处与直线y=8相切，求出a，b的值；
（2）由题意先对函数y进行求导，解出极值点，然后再根据极值点的值讨论函数的增减性及其增减区间；

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3x²-3a，
∵曲线y=f（x）在点（2，f（2））处与直线y=8相切，
∴

f′(2)=0 f(2)=8

?

3(4-a)=0 8-6a+b=8

?

a=4 b=24.

（Ⅱ）∵f′（x）=3（x²-a）（a≠0），
当a＜0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，此时函数f（x）没有极值点．
当a＞0时，由f′(x)=0?x=±

a

，
当x∈(-∞，-

a

)时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
当x∈(-

a

，

a

)时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
当x∈(

a

，+∞)时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
∴此时x=-

a

是f（x）的极大值点，x=

a

是f（x）的极小值点．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．