Question

已知左焦点为F（-1，0）的椭圆过点E（1，）．过点P（1，1）分别作斜率为k₁，k₂的椭圆的动弦AB，CD，设M，N分别为线段AB，CD的中点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若P为线段AB的中点，求k₁；
（3）若k₁+k₂=1，求证直线MN恒过定点，并求出定点坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用椭圆的定义求出椭圆的标准方程；
（2）设A，B的坐标，利用点差法确定k₁的值；
（3）求出直线MN的方程，利用根与系数的关系以及k₁+k₂=1探究直线过哪个定点．
解答：（1）解：由题意c=1，且右焦点F′（1，0）
∴2a=EF+EF′=，b²=a²-c²=2
∴所求椭圆方程为；
（2）解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
①，②
②-①，可得k₁==-=-；
（3）证明：由题意，k₁≠k₂，
设M（x_M，y_M），直线AB的方程为y-1=k₁（x-1），即y=k₁x+k₂，
代入椭圆方程并化简得（）x²+6k₁k₂x+=0
∴，
同理，，
当k₁k₂≠0时，直线MN的斜率k==
直线MN的方程为y-=（x-）
即
此时直线过定点（0，-）
当k₁k₂=0时，直线MN即为y轴，此时亦过点（0，-）
综上，直线MN恒过定点，且坐标为（0，-）．
点评：本题考查椭圆方程，考查点差法的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线恒过定点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．