Question

设f（x）=

ax2+bx+1

x+c

（a＞0）为奇函数，且|f（x）|_min=2

2

，数列{a_n}满足如下关系a₁=2，a_n+1=f（a_n）-a_n．
（Ⅰ）求f（x）的解析表达式；    
（Ⅱ）证明：a_n+1＞

2n+1

（n∈N^*）；
（Ⅲ）令b_n=

an

n

，研究数列{b_n}的单调性．

Answer 1

考点：数学归纳法,函数解析式的求解及常用方法,函数奇偶性的判断,综合法与分析法(选修）

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）利用f（x）为奇函数，且|f（x）|_min=2

2

，求出a，b，c即可的f（x）的解析表达式．
（Ⅱ）利用已知关系式，通过数学归纳法直接证明即可．
（Ⅲ）利用已知关系式通过化简

bn+1

bn

，利用放缩法以及基本不等式推出比值小于1，即可推出结果．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）是奇函数，f（-x）+f（x）=0，得b=c=0，f（x）=ax+

1

x

，
∵a＞0，
∴|f（x）|=|ax|+|

1

x

|≥2

|ax|| 1 x |

=2

a

（当且仅当|ax|=|

1

x

|时取等号），
即|f（x）|_min=2

a

，又|f（x）|_min=2

2

，
∴a=2，故f（x）=2x+

1

x

．
（Ⅱ）a_n+1=f（a_n）-a_n=

1

an

+a_n，当n=1时，a₁=2，a₂=

1

an

+a_n=

5

2

＞

5

不等式成立．
假设n=k时不等式成立，即：a_k+1＞

2k+1

成立，
当n=k+1时，ak+22=ak+12+

1

ak+12

+2＞2k+3+

1

ak+12

＞2（k+1）+1，
∴a_k+2＞

2(k+1)+1

，
∴n=k+1时成立，
综上由数学归纳法可知，a_n+1＞

2n+1

（n∈N^*）恒成立；
（Ⅲ）

bn+1

bn

=

an+1 n

an n+1

=(1+

1

an2

)

n

n+1

＜(1+

1

2n+1

)

n

n+1

=(

2(n+1)

2n+1

)

n

n+1

=

2 n(n+1)

2n+1

=

(n+ 1 2 )2- 1 4

n+ 1 2

＜1．
故b_n+1＜b_n．

点评：本题考查数学归纳法以及放缩法的应用，函数的解析式的求法，考查计算能力以及逻辑推理能力．