Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），过焦点垂直于长轴的弦长为

2

，焦点与短轴两端点构成等腰直角三角形．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）过点P（-2，0）作直线l与椭圆C交于A、B两点，求△AF₁B的面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用过焦点垂直于长轴的弦长为

2

，焦点与短轴两端点构成等腰直角三角形，建立等式，求出a，b，可得椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）设直线l：my=x+2（m≠0），代入椭圆方程，表示出△AF₁B的面积，利用基本不等式，即可求出△AF₁B的面积的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵过焦点垂直于长轴的弦长为

2

，焦点与短轴两端点构成等腰直角三角形，
∴b=c，

2b2

a

=

2

，
∴a=

2

，b=1，
∴椭圆C的标准方程为

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）设直线l：my=x+2（m≠0），代入椭圆方程可得（m²+2）y²-4my+2=0，
△=（4m）²-8（m²+2）＞0，可得m²＞2，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=

4m

m2+2

，y₁•y₂=

2

m2+2

，
∴△AF₁B的面积为S△PF1B-S△PF1A=

1

2

|PF₁||y₂-y₁|=

1

2

|y₂-y₁|，
|y₂-y₁|=

( 4m m2+2 )2- 8 m2+2

=2

2(m2-2) (m2+2)2

=2

2 (m2-2)+ 16 m2-2 +8

≤2

2 8+8

=

2

2

，
当且仅当m²=6时，取等号，满足m²＞2，
∴△AF₁B的面积的最大值为

1

2

•

2

2

=

2

4

．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查韦达定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．