Question

如图，已知圆柱的上、下底面圆心分别为P、Q，AA₁与CC₁是圆柱的母线，正方形ABCD内接于下底面圆Q，AB=kAA₁=2，连接PA、PB、PC．
（Ⅰ）当k=

2

时，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；
（Ⅱ）当k为何值时，Q点在平面PBC内的射影恰好是△PBC的重心．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,旋转体（圆柱、圆锥、圆台）

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）当k=

2

时，AA₁=

2

，AB=2，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PA与平面PBC所成角的正弦值．
（Ⅱ）取BC中点E，连结QE，PE，则QE⊥BC，PE⊥BC，过Q作QF⊥PE，交PE于F，由已知得F是Q点在平面PBC内的射影，利用向量法能求出当k为

5

2

时，Q点在平面PBC内的射影恰好是△PBC的重心．

解答： 解：（Ⅰ）当k=

2

时，AA₁=

2

，AB=2，
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，建立空间直角坐标系，
P（1，1，

2

），A（2，0，0），
B（2，2，0），C（0，2，0），

PA

=（1，-1，-

2

），

PB

=（1，1，-

2

），

PC

=（-1，1，-

2

），
设平面PBC的法向量

n

=（x，y，z），

n • PB =x+y- 2 z=0 n • PC =-x+y- 2 z=0

，
取x=1，得

n

=（0，

2

，1），
设直线PA与平面PBC所成角为θ，
sinθ=|cos＜

PA

，

n

＞|=|

0- 2 - 2

4 • 3

|=

6

3

，
∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为

6

3

．
（Ⅱ）取BC中点E，连结QE，PE，则QE⊥BC，PE⊥BC，
∴BC⊥平面PQE，
过Q作QF⊥PE，交PE于F，∵QF?平面PQE，∴BC⊥QF，
又BC∩PE=F，∴QF⊥平面PBC，即F是Q点在平面PBC内的射影，
∵F恰好是△PBC的重心，∴

PF

=

2

3

PE

，
∵AA1=

2

k

，AB=2，∴Q（1，1，0），P（1，1，

2

k

），E（1，2，0），设F（a，b，c），

PF

=

2

3

PE

=（0，

2

3

，-

1

3k

）=（a-1，b-1，c-

2

k

），
∴F（1，

5

3

，

5

3k

），

QF

=（0，

2

3

，

5

3k

），
∵

QF

•

PF

=

4

9

-

5

9k2

=0，∴k=

5

2

，或k=-

5

2

．（舍）
∴当k为

5

2

时，Q点在平面PBC内的射影恰好是△PBC的重心．

点评：本题考查直线PA与平面PBC所成角的正弦值的求法，考查当k为何值时，Q点在平面PBC内的射影恰好是△PBC的重心的求法，解题时要注意向量法的合理运用．