Question

（1）已知椭圆过点P（0，3）且a=3b，求椭圆的标准方程；
（2）焦点在x轴上的双曲线过点P(4

2

，-3)，且点Q（0，5）与两焦点的连线相互垂直，求此双曲线的方程．

Answer 1

考点：椭圆的标准方程,双曲线的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）当椭圆焦点在x轴时，设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，由已知得

9 b2 =1 a=3b

；当椭圆焦点在y轴时，设椭圆方程为

x2

b2

+

y2

a2

=1，a＞b＞0，由已知得

9 a2 =1 a=3b

．由此能求出椭圆标准方程．
（2）设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，由已知得

32 a2 - 9 b2 =1 5 c • 5 -c =-1 c2=a2+b2

，由此能求出双曲线方程．

解答： 解：（1）当椭圆焦点在x轴时，设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，
由已知得

9 b2 =1 a=3b

，解得a=9，b=3，
∴椭圆的标准方程为

x2

81

+

y2

9

=1．
当椭圆焦点在y轴时，设椭圆方程为

x2

b2

+

y2

a2

=1，a＞b＞0，
由已知得

9 a2 =1 a=3b

，解得a=3，b=1，
∴椭圆标准方程为x2+

y2

9

=1．
（2）设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，a＞0，b＞0，
∵双曲线过点P(4

2

，-3)，且点Q（0，5）与两焦点的连线相互垂直，
∴

32 a2 - 9 b2 =1 5 c • 5 -c =-1 c2=a2+b2

，解得a=4，b=3，
∴双曲线方程为

x2

16

-

y2

9

=1．

点评：本题考查双曲线方程和椭圆方程的求法，是基础题，解题时要注意圆锥曲线的性质的合理运用．