Question

已知

x2

9

+

y2

5

=1的焦点F₁、F₂，在直线l：x+y-6=0上找一点M，求以F₁、F₂为焦点，通过点M且长轴最短的椭圆方程．

Answer 1

分析：在直线l：x+y-6=0上找一点M，使得|MF₁|+|MF₂|最小，根据对称性，只需要求出F₁关于直线l的对称点F₁′（6，4），连F₁′F₂交l于一点，即为所求的点M，故可解．

解答：解：由

x2

9

+

y2

5

=1，得F₁（2，0），F₂（-2，0）（3分）
F₁关于直线l的对称点F₁′（6，4）（4分）
连F₁′F₂交l于一点，即为所求的点M，
∴2a=|MF₁|+|MF₂|=|F₁′F₂|=

(6+2)2+42

=4

5

，
∴a=2

5

（4分）
又c=2，
∴b²=16，（4分）
故所求椭圆方程为

x2

20

+

y2

16

=1．     （3分）

点评：本题重点考查图形的对称性，考查椭圆的定义及椭圆的标准方程，求出F₁关于直线l的对称点F₁′（6，4）是解题的关键．