Question

3．已知集合A={x|x²+（m+2）x+1=0}，B={x|x＞0}，若A∩B=∅，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 由A∩B=∅，可得方程x²+（m+2）x+1=0无解或只有非正数根．然后利用“三个二次”结合列不等式组求得答案．

解答 解：∵A={x|x²+（m+2）x+1=0}，B={x|x＞0}，
∴A∩B=∅，则方程x²+（m+2）x+1=0无解或只有非正数根．
若方程x²+（m+2）x+1=0无解，则判别式△=（m+2）²-4＜0，解得：-4＜m＜0；
若方程x²+（m+2）x+1=0只有非正数根，当x=0时，方程x²+（m+2）x+1=0等价为1=0，不成立，
则x＜0，则设f（x）=x²+（m+2）x+1，
则$\left\{\begin{array}{l}{△=（m+2）^{2}-4≥0}\\{-（m+2）＜0}\\{1＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{m≥0或m≤-4}\\{m＞-2}\end{array}\right.$，解得：m≥0，
综上，m＞-4，
即实数m的取值范围是（-4，+∞）．

点评 本题考查交集及其运算，考查了一元二次方程根的分布，属中档题．