Question

下列说法中：
①若f（x）=ax²+（2a+b）x+2（其中x∈[2a-1，a+4]）是偶函数，则实数b=2；
②f（x）=

2013-x2

+

x2-2013

既是奇函数又是偶函数；
③已知f（x）是定义在R上的奇函数，若当x∈[0，+∞）时，f（x）=x（1+x），则当x∈R时，f（x）=x（1+|x|）；
④已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的x，y∈R都满足f（x•y）=x•f（y）+y•f（x），则f（x）是奇函数．其中正确说法的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：①由f（x）x∈[2a-1，a+4]是偶函数，则定义域关于原点对称，再由f（-x）=f（x）求解；
②将函数化简得：f（x）=0，x∈R，结论可知；
③设x＜0，由-x＞0，代入x∈[0，+∞]时，f（x）=x（1+x），再由f（x）是奇函数求解；
④通过赋值法，求得相应函数值，来寻求f（-x）与f（x）关系．

解答： 解：①由于f（x）=ax²+（2a+b）x+2（其中x∈[2a-1，a+4]）是偶函数，
则

2a+b=0 2a-1=-(a+4)

，解得

a=-1 b=2

，
则实数b=2，故①正确；
②f（x）=

2013-x2

+

x2-2013

，
由

2013-x2≥0 x2-2013≥0

得x=2013，
∴f（x）=0，x∈R，既是奇函数，又是偶函数，故②正确；
③设x＜0则-x＞0
∵当x＞0时，f（x）=x（x+1），∴f（-x）=（-x）（1-x）
由函数f（x）为奇函数可得f（-x）=-f（x），∴-f（x）=（-x）（1-x）
即f（x）=x（1-x），x＜0
∵f（0）=0适合f（x）=x（x+1），x＞0，
∴f（x）=x（1+|x|），故③正确；
④令x=y=0，得f（0）=0
再令x=1，y=-1，得f（-1）=f（-1）-f（1）
∴f（1）=0
再令x=y=-1，得f（1）=-f（1）-f（-1）
∴f（-1）=0
再令y=-1
得f（-x）=xf（-1）-f（x）
则，f（-x）=-f（x）
∴f（x）是奇函数．故④正确．
故答案为：①②③④．

点评：本题主要考查函数的奇偶性的判断及其应用，涉及到定义，要注意关于原点对称，涉及到求解析式，要注意求哪区间上的解析式，要在哪个区间上设变量．