Question

下列有关命题说法正确的是（　　）

• A、命题p：“存在x∈R，sinx+cosx=

  3

  ”，则￢p是假命题
• B、“a=1”是“函数f（x）=cos²ax-sin²ax的周期T=π”的充分必要条件
• C、命题“存在x∈R，使得x²+x+1=0”的否定是：“对任意x∈R，x²+x+1≥0”
• D、命题“若tanα≠1，则α≠

  π

  4

  ”的逆否命题是真命题

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：A．由于sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)≤

2

，即可判断出命题p的真假，进而得到￢p的真假．
B．利用倍角公式可得函数f（x）=cos2ax，再利用周期公式T=

2π

|2a|

=

π

|a|

=π，即可解得a，即可判断出．
C．利用命题的否定定义即可得出；
D．得出逆否命题是“若α=

π

4

，则tanα=1”，即可判断出真假．

解答： 解：A．命题p：“存在x∈R，sinx+cosx=

3

”，由于sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)≤

2

，
因此命题p是假命题，故￢p是真命题，因此A不正确．
B．由函数f（x）=cos²ax-sin²ax=cos2ax，∴T=

2π

|2a|

=

π

|a|

=π，解得a=±1．
因此“a=1”是“函数f（x）=cos²ax-sin²ax的周期T=π”的充分但不必要条件．因此B不正确．
C．命题“存在x∈R，使得x²+x+1=0”的否定应是：“对任意x∈R，x²+x+1≠0”，因此不正确；
D．命题“若tanα≠1，则α≠

π

4

”的逆否命题是“若α=

π

4

，则tanα=1”是真命题．
故选：D．

点评：本题综合考查了三角函数的周期性、有界性、两角和差的正弦公式、倍角公式、简易逻辑等基础知识，属于基础题．