Question

9．设偶函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，$\overrightarrow{MK}•\overrightarrow{ML}$=0，|KL|=1，|ML|=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，则$f（\frac{1}{6}）$的值为（　　）

• A． $-\frac{{\sqrt{3}}}{4}$
• B． $-\frac{1}{4}$
• C． $-\frac{1}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{4}$

Answer 1

分析 利用函数的图象，通过KL=1以及∠KML=90°求出求出A，再求出函数的周期，确定ω，利用函数是偶函数求出φ，得到函数的解析式，即可求解f（$\frac{1}{6}$）的值．

解答 解：因为f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，
$\overrightarrow{MK}•\overrightarrow{ML}$=0，∠KML=90°，|KL|=1，|ML|=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，可得|KM|=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
所以解得：A=$\frac{1}{2}$，T=2，因为T=$\frac{2π}{ω}$，所以ω=π，
函数是偶函数，0＜φ＜π，所以φ=$\frac{π}{2}$，
∴函数的解析式为：f（x）=$\frac{1}{2}$sin（πx+$\frac{π}{2}$），
所以f（$\frac{1}{6}$）=$\frac{1}{2}$sin（$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{2}$）=$\frac{1}{2}$cos$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
故选：D．

点评 本题考查函数的解析式的求法，函数奇偶性的应用，考查学生识图能力、计算能力，属于基本知识的考查．