Question

已知a，b，c∈R，函数f(x)=ax²+bx+c，g(x)=ax+b，当－1≤x≤1时，有|f(x)|≤1。

(1)证明：|c|≤1;

(2)证明：当－1≤x≤1时，|g(x)|≤2;

(3)设a>0，－1≤x≤1时，g(x)的最大值为2，求f(x)的解析式。

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：∵－1≤x≤1时，有|f(x)|≤1 ∴当x=0时，有f(0)=c 即|c|=|f(0)|≤1。 故|c|≤1。 (2)证明：欲证当－1≤x≤1时，有|g(x)|≤2 即证：当－1≤x≤1时，有－2≤g(x)≤2。 对于a进行分类讨论。 当a>0时，g(x)在－1≤x≤1上是增函数， ∴a－b≤g(x)≤a+b ∵a+b=f(1)－c≤|f(1)|+|c|≤2， a－b=f(－1)－c≥－(|f(－1)|+|c|)≥－2 ∴－2≤g(x)≤2，即|g(x)|≤2; 当a<0时，g(x)在－1≤x≤1上是减函数， ∴a+b≤g(x)≤a－b ∵a+b=f(1)－c≥－(|f(1)|+|c|)≥－2， a－b=f(－1)－c≤|f(－1)|+|c|≤2， ∴－2≤g(x)≤2，即|g(x)|≤2; 当a=0时，g(x)=b，f(x)=bx+c， ∴|g(x)|=|f(1)－c|≤|f(1)|+|c|≤2; 综上所述，有|g(x)|≤2。 (3)解：∵a>0， ∴g(x)在－1≤x≤1上是增函数， ∴当x=1时，g(x)取得最大值2，即a+b=2， ∴f(1)－f(0)=a+b=2， ∴－1≤f(0)=f(1)－2≤1－2=－1 即c=f(1)=－1， ∵－1≤x≤1时，f(x)≥－1=f(0) ∴x=0为函数f(x)图象的对称轴， ∴b=0，进而a=2 故f(x)=2x2－1。