Question

已知数列{a_n}满足

a1=2 a2=8 an+1+an-1=can，(n≥2).

（c为常数，n∈N^*）
（1）当c=2时，求a_n；
（2）当c=1时，求a₂₀₁₄的值；
（3）问：使a_n+3=a_n恒成立的常数c是否存在？并证明你的结论．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的函数特性

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）c=2时，推出关系式a_n+1-a_n=a_n-a_n-1，进而推出递推公式，再利用递推公式求解数列的通项公式．
（2）观察数列特点，利用数列的周期性即可求解．
（3）假设存在常数c，使a_n+3=a_n恒成立，利用此关系式求出c，并进行验证．

解答： 解：（1）c=2时，a_n+1+a_n-1=2a_n （n≥2）
∴a_n+1-a_n=a_n-a_n-1
∴a_n-a_n-1=a_n-1-a_n-2=…=a₂-a₁=6
∴a_n=a_n-1+6 （n≥2）
∴n≥2时，
a_n=a_n-1+6=a_n-2+6×2=…=a₂+6×（n-2）=6n-4
又n=1时，亦有a₁=6×1-4=2 成立
综上可知，a_n=6n-4
（2）c=1时，a_n+1+a_n-1=a_n （n≥2）
∴a_n+3=a_n+2-a_n+1=-a_{n，
a3=a2-a1=6，a4=a3-a2=-2}
∴a_n+6=a_n+3+3=-a_n+3=a_n
∴数列{a_n}为一周期为6的数列．
∵2014=335×6+
∴a₂₀₁₄=a₄=-2．
（3）假设存在常数c，使a_n+3=a_n恒成立．
∵a_n+3=a_n
a_n+2+a_n=ca_n+1
∴a_n-1+a_n=ca_{n+1 ①}
又a_n+1+a_n-1=ca_{n ②}
①式减②式得，（a_n+1-a_n）（1+c）=0．
∴a_n+1-a_n=0，或1+c=0．
又n∈N*，a_n+1-a_n=0时，数列{a_n}为常数数列，不满足要求．
∴1+c=0
∴c=-1
c=-1时，有：
a_n+1+a_n-1=-a_n，即对于n∈N且n≥2，都有a_n+1=-a_n-a_n-1．
∴a_n+3=-a_n+2-a_n+1，a_n+2=-a_n+1-a_n．
∴a_n+3=-a_n+2-a_n+1，=a_n+1+a_n-a_n+1=a_n（n≥1）．
所以存在常数c=-1，使a_n+3=a_n恒成立．

点评：本题主要考察了利用数列的递推式求数列的通项，属于难题．