Question

9．设a为实常数，对任意x∈[0，+∞），不等式（x+1）ln（x+1）≥ax恒成立，则a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-1]
• B． [-1，+∞）
• C． （-∞，1]
• D． [1，+∞）

Answer 1

分析 讨论x=0时，不等式恒成立；x＞0时，可得a≤$\frac{（x+1）ln（x+1）}{x}$恒成立．由$\frac{（x+1）ln（x+1）}{x}$-1=$\frac{（x+1）ln（x+1）-x}{x}$，令f（x）=（x+1）ln（x+1）-x，x＞0，求得导数，判断单调性，即可得到a的范围．

解答 解：当x=0时，不等式（x+1）ln（x+1）≥ax显然成立；
当x＞0时，不等式即为a≤$\frac{（x+1）ln（x+1）}{x}$恒成立．
由$\frac{（x+1）ln（x+1）}{x}$-1=$\frac{（x+1）ln（x+1）-x}{x}$，
令f（x）=（x+1）ln（x+1）-x，x＞0，
导数为f′（x）=ln（x+1）+1-1=ln（x+1），
当x＞0时，x+1＞1，即有ln（x+1）＞0．
即有f（x）在（0，+∞）递增，可得f（x）＞f（0）=0，
即有$\frac{（x+1）ln（x+1）}{x}$＞1，
则a≤1．即a的取值范围是（-∞，1]．
故选：C．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和构造函数法，运用导数判断单调性是解题的关键，属于中档题．