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    4．《环境空气质量指标（AQI）技术规定（试行）》如表1：
    表1：空气质量指标AQI分组表
    AQI0～5051～100101～150151～200201～300＞300
    级别Ⅰ级Ⅱ级Ⅲ级Ⅳ级Ⅴ级Ⅵ级
    类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染
    表2是长沙市某气象观测点在某连续4天里的记录，AQI指数M与当天的空气水平可见度y（km）的情况．
    表2：
    AQI指数 900700300100
    空气可见度 （千米）0.53.56.59.5
    表3是某气象观测点记录的长沙市2016年1月1日至1月30日AQI指数频数统计表．
    表3：
    AQI指数[0，200]（201，400]（401，600]（601，800]（801，1000]
    频数361263
    （1）设x=$\frac{M}{100}$，根据表2的数据，求出y关于x的回归方程；
    （2）小李在长沙市开了一家小洗车店，经小李统计：AQI指数不高于200时，洗车店平均每天亏损约200元；AQI指数在200至400时，洗车店平均每天收入约400元；AQI指数大于400时，洗车店平均每天收入约700元．
    （ⅰ）计算小李的洗车店在当年1月份每天收入的数学期望．
    （ⅱ）若将频率看成概率，求小李在连续三天里洗车店的总收入不低于1200元的概率．
    （用最小二乘法求线性回归方程系数公式$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2}-n{{（\overline x）}^2}}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\stackrel{∧}{y}$-$\stackrel{∧}{b}$x）

    分析 （1）利用公式计算线性回归方程系数，即可得到y关于x的线性回归方程；
    （2）（ⅰ）由表2知AQI指数不高于200的频率为0.1，AQI指数在200至400的频率为0.2，AQI指数大于400的频率为0.7，确定饭馆每天的收入的取值及概率，从而可求分布列及数学期望；
    （ⅱ）由（ⅰ），“连续三天洗车店收入不低于1200元包含1A2C，3B，2B1C，1B2C，3C五种情况”，即可求出小李在连续三天里洗车店的总收入不低于1200元的概率．

    解答 解：（1）$\overline x=\frac{9+7+3+1}{4}=5$，$\overline y=\frac{0.5+3.5+6.5+9.5}{4}=5$，$\sum_{j=1}^4{{x_j}{y_j}}=9×0.5+7×3.5+3×6.5+1×9.5=58$，$\sum_{j=1}^4{{x_j}^2}={9^2}+{7^2}+{3^2}+{1^2}=140$，
    所以$b=\frac{58-4×5×5}{{140-4×{5^2}}}=-\frac{21}{20}$，$a=5-（-\frac{21}{20}）×5=\frac{41}{4}$，
    所以y关于x的回归方程是$y=-\frac{21}{20}x+\frac{41}{4}$．
    （2）由表3知AQI不高于200的频率为0.1，AQI指数在200至400的频率为0.2，AQI指数大于400的频率为0.7．
    设“洗车店每天亏损约200元”为事件A，“洗车店每天收入约400元”为事件B，“洗车店每天收入约700元”为事件C，
    则P（A）=0.1，P（B）=0.2，P（C）=0.7，
    （ⅰ）设洗车店每天收入为X元，则X的分布列为

     X-200 400 700
     P 0.1 0.2 0.7
    则X的数学期望为EX=-200×0.1+400×0.2+700×0.7=550（元）．
    （ⅱ）由（ⅰ），“连续三天洗车店收入不低于1200元包含1A2C，3B，2B1C，1B2C，3C五种情况”，
    则“连续三天洗车店收入不低于1200元”的概率：$P={0.2^3}+C_3^2×{0.7^2}×0.1+C_3^2×{0.7^2}×0.2+C_3^2×{0.2^2}×0.7+{0.7^3}=0.876$．

    点评 本题考查线性回归方程，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

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    14．如图，已知在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为2的棱形，∠ABC=60°，侧面SAD为正三角形，侧面SAD⊥底面ABCD，E为线段AD的中点．
    （Ⅰ）求证：SE⊥底面ABCD；
    （Ⅱ）求证：二面角A-SB-C为直二面角；
    （Ⅲ）在侧棱SB上是否存在一点M，使得BD⊥平面MAC？如果存在，求$\frac{BM}{BS}$的值；如果不存在，说明理由．

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    15．若函数f（x）=log5x（x＞0），则方程f（x+1）+f（x-3）=1的解x=4．

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    12．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥BC，平面PACD为直角梯形，∠PAC=90°，PD∥AC，PA=AB=PD=1，AC=2，∠BAC=120°
    （1）求证：PA⊥AB；
    （2）求直线BD与平面PACD所成角的正弦值；
    （3）求二面角D-BC-A的平面角的正切值．

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    19．a、b、c依次表示函数f（x）=2x+x-2，g（x）=3x+x-2，h（x）=lnx+x-2的零点，则a、b、c的大小顺序为（　　）
    A．c＜b＜aB．a＜b＜cC．a＜c＜bD．b＜a＜c

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    9．设a为实常数，对任意x∈[0，+∞），不等式（x+1）ln（x+1）≥ax恒成立，则a的取值范围是（　　）
    A．（-∞，-1]B．[-1，+∞）C．（-∞，1]D．[1，+∞）

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    16．已知f（x）=xlnx-ax，g（x）=x3+ax+a．
    （1）问：f（x）=0在（0，+∞）上有几个实根？
    （2）若F（x）=f（x）-g（x）在（0，+∞）上单调递减，求a的取值范围．

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    13．设函数y=f（x）在区间（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在区间（a，b）上的导函数为f″（x），若在区间（a，b）上，f″（x）恒成立，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”．例如函数f（x）=lnx在任意正实数区间（a，b）上都是凸函数．现给出如下命题：
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    其中正确命题的序号是①③⑤．（写出所有正确命题的序号）

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    14．接正方体6个面的中心形成15条直线，从这15条直线中任取两条，则它们异面的概率为（　　）
    A．$\frac{2}{35}$B．$\frac{8}{35}$C．$\frac{12}{35}$D．$\frac{18}{35}$

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