Question

19．a、b、c依次表示函数f（x）=2^x+x-2，g（x）=3^x+x-2，h（x）=lnx+x-2的零点，则a、b、c的大小顺序为（　　）

• A． c＜b＜a
• B． a＜b＜c
• C． a＜c＜b
• D． b＜a＜c

Answer 1

分析 先确定三个函数在定义域上是增函数，再利用零点存在定理，求出三个函数零点的范围，从而比较大小，即可得解．

解答 解：由于：f（x）=2^x+x-2，g（x）=3^x+x-2，h（x）=lnx+x-2在定义域上是增函数，
对于f（x）=2^x+x-2，
由于：f（$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$-2＜0，f（1）=2+1-2=1＞0，
所以：函数在（$\frac{1}{2}$，1）上有唯一的零点，即a∈（$\frac{1}{2}$，1）；
对于g（x）=3^x+x-2，
由于：g（$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$-2＞0，g（0）=1+0-2=-1＜0，
所以：函数在（0，$\frac{1}{2}$）上有唯一的零点，即b∈（0，$\frac{1}{2}$）；
对于h（x）=lnx+x-2，
由于：h（1）=ln1+1-2=-1＜0，h（2）=ln2＞0，
可得：函数在（1，2）上有唯一的零点，即c∈（1，2）；
则b＜a＜c，
故选：D．

点评 本题主要考查函数零点的大小判断，解题时注意注意函数的零点的灵活运用，属于基础题．