Question

8．如图所示，从圆O外一点M做圆O的割线MAB、MCD，AB是圆O的直径，MA=$\sqrt{2}$，MC=$\sqrt{7}$-1，CD=2．
（1）求圆O的半径；
（2）求∠CBD．

Answer 1

分析 （1）设圆O的半径为R，由图求出MB、MD，根据切割线定理的推论列出方程求出R；
（2）连接OC、OD，由勾股定理的逆定理判断出∠COD=90°，由圆周角与圆心角的关系求出∠CBD．

解答 解：（1）设圆O的半径为R，
因为MA=$\sqrt{2}$，MC=$\sqrt{7}-1$，CD=2，
则MB=MA+AB=$\sqrt{2}$+2R，MD=MC+CD=$\sqrt{7}+1$     （1分）
根据切割线定理的推论得：MC•MD=MA•MB       （3分）
即（$\sqrt{7}-1$）（$\sqrt{7}+1$）=$\sqrt{2}$（$\sqrt{2}$+2R）
解得：R=$\sqrt{2}$，即圆O的半径为$\sqrt{2}$          （5分）
（2）连接OC、OD，则OC=OD=$\sqrt{2}$          （6分）
$O{C}^{2}+O{D}^{2}=（\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{2}）^{2}$=4=CD²           （8分）
根据勾股定理的逆定理得，∠COD=90°              （9分）
所以$∠CBD=\frac{1}{2}∠COD=45$°                 （10分）

点评 本题考查了切割线定理的推论，勾股定理的逆定理，以及圆周角与圆心角的关系，属于中档题．