Question

16．已知f（x）=xlnx-ax，g（x）=x³+ax+a．
（1）问：f（x）=0在（0，+∞）上有几个实根？
（2）若F（x）=f（x）-g（x）在（0，+∞）上单调递减，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式求出函数 的极小值，结合函数的单调性求出函数的零点个数即可；
（2）求出F（x）的导数，分离参数得到2a≥lnx-3x²+1恒成立，设h（x）=lnx-3x²+1，h′（x）=$\frac{1}{x}$-6x，根据函数的单调性求出h（x）的最大值，从而求出a的范围即可．

解答 解：（1）f（x）=xlnx-ax，定义域是（0，+∞），
f′（x）=lnx+1-a=0，
令f′（x）＞0，解得：x＞e^a-1，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜e^a-1，
∴f（x）在（0，e^a-1）递减，在（e^a-1，+∞）递增，
∴f（x）_极小值=f（e^a-1），无极大值，
∵f（e^a-1）=-e^a-1＜0，x→0时，f（x）→0，
∴f（x）=0在（0，+∞）上仅有一个实数根；
（2）由F（x）=f（x）-g（x）=xlnx-2ax-x³-a在（0，+∞）递减，
得：F′（x）=lnx+1-2a-3x²≤0在（0，+∞）恒成立，
即：2a≥lnx-3x²+1恒成立，
设h（x）=lnx-3x²+1，h′（x）=$\frac{1}{x}$-6x，
令h′（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{\sqrt{6}}{6}$，令h′（x）＜0，解得：x＞$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴h（x）在（0，$\frac{\sqrt{6}}{6}$）递增，在（$\frac{\sqrt{6}}{6}$，+∞）递减，
∴h（x）_最大值=h（$\frac{\sqrt{6}}{6}$）=$\frac{1}{2}$（1-ln6），
∴a≥$\frac{1}{4}$（1-ln6）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数的零点问题，是一道中档题．