Question

19．关于函数f（x）=6sin（2x+$\frac{π}{3}$）（x∈R），有下列命题：
①由f（x₁）=f（x₂）=0可得x₁-x₂必是π的整数倍；
②y=f（x）的表达式可改写为f（x）=6cos（2x-$\frac{π}{6}$）；
③y=f（x）的图象关于点（-$\frac{π}{6}$，0）对称；
④y=f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{12}$对称．
以上命题成立的序号是②③④．

Answer 1

分析 利用正弦函数的图象的周期性、对称性，诱导公式，得出结论．

解答 解：关于函数f（x）=6sin（2x+$\frac{π}{3}$）（x∈R），
由f（x₁）=f（x₂）=0可得 2x₁+$\frac{π}{3}$=kπ，2x₂+$\frac{π}{3}$=nπ，k、n∈Z，
不妨令 x₁=$\frac{π}{3}$，x₂，=$\frac{5π}{6}$，显然，x₁-x₂不是π的整数倍，故①错误．
∵y=f（x）=6sin（2x+$\frac{π}{3}$）=6cos[$\frac{π}{2}$-（2x+$\frac{π}{3}$）]=6cos（2x-$\frac{π}{6}$），故②正确．
令x=-$\frac{π}{6}$，求得f（x）=0，故f（x）的图象关于点（-$\frac{π}{6}$，0）对称，故③正确．
令x=$\frac{π}{12}$，可得f（x）=1，故f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{12}$对称，故④正确，
故答案为：②③④．

点评 本议题主要考查正弦函数的图象的周期性、对称性，诱导公式的应用，属于基础题．