Question

4．已知cosα=$\frac{5}{13}$，cos（α-β）=$\frac{4}{5}$，且0＜β＜α＜$\frac{π}{2}$，
（1）求tan2α的值；  
（2）求cosβ的值．

Answer 1

分析 （1）利用已知及同角三角函数基本关系式可求sinα，进而可求tanα，利用二倍角的正切函数公式可求tan2α的值．
（2）由0＜β＜α＜$\frac{π}{2}$，得0＜α-β＜$\frac{π}{2}$，利用同角三角函数基本关系式可求sin（α-β），由β=α-（α-β）利用两角差的余弦函数公式即可计算求值．

解答 解：（1）∵由cosα=$\frac{5}{13}$，0＜α＜$\frac{π}{2}$，得sinα=$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=$\sqrt{1-（\frac{5}{13}）^{2}}$=$\frac{12}{13}$，
∴得tan$α=\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{12}{5}$
∴于是tan2α=$\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}$=-$\frac{120}{119}$．…（6分）
（2）由0＜β＜α＜$\frac{π}{2}$，得0＜α-β＜$\frac{π}{2}$，
又∵cos（α-β）=$\frac{4}{5}$，
∴sin（α-β）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（α-β）}$=$\frac{3}{5}$，
由β=α-（α-β）得：
cosβ=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）=$\frac{5}{13}×\frac{4}{5}+\frac{3}{5}×\frac{12}{13}$=$\frac{56}{65}$．…（12分）

点评 本题主要考查了三角函数基本关系式，二倍角的正切函数公式，两角差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．