Question

14．已知A（-2，0），B（2，0），|$\overrightarrow{AP}$|=2，D为线段BP的中点．
（1）求点D的轨迹E的方程；
（2）抛物线C以坐标原点为顶点，以轨迹E与x轴正半轴的交点F为焦点，过点B的直线与抛物线C交于M，N两点，试判断坐标原点与以MN为直径的圆的位置关系．

Answer 1

分析 （1）利用代入法求点D的轨迹E的方程；
（2）设直线MN的方程为x=ty+2联立得y²-4ty-8=0，利用韦达定理，证明$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$＜0，即可得出结论．

解答 解：（1）设D（x，y），P（m，n），则x=$\frac{2+m}{2}$，y=$\frac{n}{2}$…（1分）
所以m=2x-2，n=2y…（2分）
又|$\overrightarrow{AP}$|=2，所以（m+2）²+n²=4…（3分）
所以所求方程为x²+y²=1…（4分）
（2）轨迹E与x轴正半轴的交点F（1，0）…（5分）
抛物线C的方程为y²=4x…（6分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），设直线MN的方程为x=ty+2
联立得y²-4ty-8=0，
则y₁+y₂=4t，y₁y₂=-8…（8分）
$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}•\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$+y₁y₂=-4＜0…（10分）
所以坐标原点在以MN为直径的圆内…（12分）

点评 本题考查代入法求轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，正确运用向量知识、韦达定理是关键．