Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n-a_n+1=2a_n•a_n+1，数列{b_n}满足2a_n（2+log₂b_n）-a_n-1=0
（1）求数列{a_n}的通项公式和{b_n}的前n项和S_n．
（2）若数列{c_n}满足c_n=

1

log2bn+2

，设数列{c_n²}的前n项和为T_n，证明：T_n＜2．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得{

1

an

}是首项这1，公差为2的等差数列，从而求出a_n=

1

2n-1

．由已知得b_n=2^n-2=

1

2

×2^n-1．由此能求出S_n=2^n-1-

1

2

．
（2）由c_n=

1

log2bn+2

=

1

n

，cn2=

1

n2

，

1

n2

＜

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

，利用裂项求和法能证明T_n＜2．

解答： （1）解：∵数列{a_n}满足a₁=1，a_n-a_n+1=2a_n•a_n+1，
∴

1

an+1

-

1

an

=2，

1

a1

=1，
∴{

1

an

}是首项这1，公差为2的等差数列，
∴

1

an

=1+2（n-1）=2n-1，
∴a_n=

1

2n-1

．
∵数列{b_n}满足2a_n（2+log₂b_n）-a_n-1=0，
∴

4+2log2bn

2n-1

-

1

2n-1

-1=0，
解得b_n=2^n-2=

1

2

×2^n-1．
∴S_n=

1 2 (1-2n)

1-2

=2^n-1-

1

2

．
（2）证明：c_n=

1

log2bn+2

=

1

n

，cn2=

1

n2

，
∴T_n=

1

12

+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

，
∵

1

n

＜

1

n-1

，（n＞1）
∴

1

n2

＜

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

，
∴T_n=

1

12

+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜1+1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

=2-

1

n

＜2．
∴T_n＜2．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．