【题目】已知函数.
(1)讨论函数f(x)的极值点的个数;
(2)若f(x)有两个极值点,,证明:.
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】
(1)求得函数的导数,,按、、三种情况分类讨论,得出函数的单调性,进而得出函数的极值;
(2)由(1)知,当时,极值点,是方程的两根,化简得,设,,利用导数求得函数的单调性与最值,即可求解.
(1)由题意,函数,
得,,
(i)若时;,
当时,,函数单调递减;
当时,,函数单调递增,
所以当,函数取得极小值,是的一个极小值点;
(ii)若时,则,即时,此时,在是减函数,无极值点,
当时,则,令,解得,,
当和时,,当时,,
∴在取得极小值,在取得极大值,所以有两个极值点,
综上可知:(i)时,仅有一个极值点;(ii).当时,无极值点;
(iii)当,有两个极值点.
(2)由(1)知,当且仅当时,有极小值点和极大值点,
且,是方程的两根,∴,,
则
,
设,,则,
∴时,是减函数,,
∴,
∴.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.
(1)求证:AE⊥平面PCD;
(2)求PB和平面PAD所成的角的大小;
(3)求二面角A-PD-C的正弦值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某工厂共有名工人,已知这名工人去年完成的产品数都在区间(单位:万件)内,其中每年完成万件及以上的工人为优秀员工,现将其分成组,第组、第组、第组、第组、第组对应的区间分别为,,,,,并绘制出如图所示的频率分布直方图.
(1)求的值,并求去年优秀员工人数;
(2)选取合适的抽样方法从这名工人中抽取容量为的样本,求这组分别应抽取的人数;
(3)现从(2)中人的样本中的优秀员工中随机选取名传授经验,求选取的名工人在同一组的概率.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在五边形AEBCD中,,C,,,(如图).将△ABE沿AB折起,使平面ABE⊥平面ABCD,线段AB的中点为O(如图).
(1)求证:平面ABE⊥平面DOE;
(2)求平面EAB与平面ECD所成的锐二面角的大小.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】2017年4月1日,新华通讯社发布:国务院决定设立河北雄安新区.消息一出,河北省雄县、容城、安新3县及周边部分区域迅速成为海内外高度关注的焦点.
(1)为了响应国家号召,北京市某高校立即在所属的8个学院的教职员工中作了“是否愿意将学校整体搬迁至雄安新区”的问卷调查,8个学院的调查人数及统计数据如下:
调查人数() | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 |
愿意整体搬迁人数() | 8 | 17 | 25 | 31 | 39 | 47 | 55 | 66 |
请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出变量关于变量的线性回归方程保留小数点后两位有效数字);若该校共有教职员工2500人,请预测该校愿意将学校整体搬迁至雄安新区的人数;
(2)若该校的8位院长中有5位院长愿意将学校整体搬迁至雄安新区,现该校拟在这8位院长中随机选取4位院长组成考察团赴雄安新区进行实地考察,记为考察团中愿意将学校整体搬迁至雄安新区的院长人数,求的分布列及数学期望.
参考公式及数据: .
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知点为圆上任意一点,点,线段的中垂线交于点.
(1)求动点的轨迹方程;
(2)若动直线与圆相切,且与动点的轨迹交于点、,求面积的最大值(为坐标原点).
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在一次调查中,甲、乙、丙、丁四位同学阅读量有如下关系:同学甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量之和相同,同学甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和,丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和.那么这四名同学按阅读量从大到小的排序依次为________.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com