Question

已知a＞0且a≠1，设p：函数y=aⁿ在x∈（0，+∞）内单调递减；q：曲线y=x²+（2a-3）x+1与x轴交于不同的两点．如果p和q有且仅有一个为真，求a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：先求出命题p，q下的a的取值，然后根据p，q有一个为真得：p真q假，和p假q真，求出这两种情况下的a的取值，求并集即可．

解答： 解：p：函数y=aⁿ在x∈（0，+∞）内单调递减；
∴0＜a＜1；
q：曲线y=x²+（2a-3）x+1与x轴交于不同的两点；
∴△=（2a-3）²-4＞0，解得a＞

5

2

，或0＜a＜

1

2

；
∵p和q有且仅有一个为真；
∴若p真q假：

0＜a＜1 1 2 ≤a≤ 5 2

，解得

1

2

≤a＜1；
若p假q真：

a≥1 a＞ 5 2 ，或0＜a＜ 1 2

，解得a＞

5

2

；
∴a的取值范围为[

1

2

，1)∪(

5

2

，+∞)．

点评：考查指数函数的单调性，二次函数的零点个数和判别式△的关系，集合的交集与并集，不要忘了a＞0的条件．