Question

（1）解不等式：|x-1|+|2x+5|＜8；
（2）已知a，b，c＞0，且a+b+c=1，证明：

a2

b+3c

+

b2

c+3a

+

c2

a+3b

≥

1

4

．

Answer 1

考点：一般形式的柯西不等式,绝对值不等式的解法,不等式的证明

专题：综合题,不等式的解法及应用

分析：（1）利用绝对值的几何意义，分段解不等式，将所得的结果并起来，得到绝对值不等式的解集；
（2）根据柯西不等式可得，不等式左边≥

(a+b+c)2

b+3c+c+3a+a+3b

，即可得证．

解答： （1）解：x≤-2.5时，不等式可化为-x+1-2x-5＜8，解得x＞-4，∴-2.5≥x＞-4；
-2.5＜x＜1时，不等式可化为-x+1+2x+5＜8，解得x＜2，∴-2.5＜x＜1；
x≥1时，不等式可化为x-1+2x+5＜8，解得x＜

4

3

，∴1≤x＜

4

3

，
综上，不等式的解集为（-4，

4

3

）；
（2）证明：根据柯西不等式可得，不等式左边≥

(a+b+c)2

b+3c+c+3a+a+3b

，
∵a+b+c=1，
∴

(a+b+c)2

b+3c+c+3a+a+3b

≥

1

4

，
∴

a2

b+3c

+

b2

c+3a

+

c2

a+3b

≥

1

4

．

点评：本题考查不等式的解法，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．