Question

已知f(x)=cos2x-sinx(sinx-2

3

cosx)，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若f(x)=

8

5

，且x∈[

π

4

，

π

2

]，求sin2x的值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式和两角和差的正弦公式化简函数的解析式为 2sin（2x+

π

6

），由最小正周期 T=

2π

ω

求出结果．
（2）由题意可得sin（2x+

π

6

）=

4

5

，再由x∈[

π

4

，

π

2

]，可得cos（2x+

π

6

）=-

3

5

，根据sin2x=sin[（2x+

π

6

）-

π

6

]，利用两角差的正弦公式求出结果．

解答：解：（1）∵f(x)=cos2x-sinx(sinx-2

3

cosx)=cos²x-sin²x+2

3

sinxcosx=cos2x+

3

sin2x=2sin（2x+

π

6

），
故函数的最小正周期 T=

2π

ω

=π．
（2）∵f(x)=

8

5

，且x∈[

π

4

，

π

2

]，∴sin（2x+

π

6

）=

4

5

．  又x∈[

π

4

，

π

2

]，∴cos（2x+

π

6

）=-

3

5

．
∴sin2x=sin[（2x+

π

6

）-

π

6

]=sin（2x+

π

6

） cos

π

6

-cos（2x+

π

6

） sin

π

6

=

4 3 +3

10

．

点评：本题主要考查两角和差的正弦公式，三角函数的周期性及求法，二倍角公式的应用，化简函数的解析式为 2sin（2x+

π

6

），是解题的突破口．