【题目】如图所示，在平面直角坐标系
上放置一个边长为1的正方形
，此正方形沿
轴滚动（向左或者向右均可），滚动开始时，点
在原点处，例如：向右滚动时，点的轨迹起初时以点
为圆心，1为半径的
圆弧，然后以点
与轴交点为圆心，
长度为半径……，设点
的纵坐标与横坐标的函数关系式是
，该函数相邻两个零点之间的距离为
.
（1）写出的值，并求出当
时，点轨迹与轴所围成的图形的面积
，研究该函数的性质并填写下面的表格：
函数性质 | 结论 | |
奇偶性 | ||
单调性 | 递增区间 | |
递减区间 | ||
零点 | ||
（2）已知方程
在区间
上有11个根，求实数
的取值范围
（3）写出函数
的表达式.
【答案】（1）
，性质如表：
函数性质 | 结论 | |
奇偶性 | 偶函数 | |
单调性 | 递增区间 |
|
递减区间 |
| |
零点 |
| |
（2）
（3）
【解析】
（1）做出点
的轨迹示意图如下图1所示，可得该函数相邻两个零点之间的距离，点轨迹与
轴所围成的图形的面积，函数
的奇偶性，单调区间和零点；
（2）令
，则函数都是偶函数，且两个函数一定交于原点，要使方程
在区间
上有11个根，只需两函数在
上有5个交点，分别得出
和
时，函数
的解析式，再代入方程
中，对
进行参变分离转化为求函数的最值问题，从而可得范围；
（3）通过点的轨迹示意图1可知，当
时，点的轨迹是以点
为圆心，
为半径的
圆弧，当
时，点的轨迹是以点
为圆心，
为半径的
圆弧，当
时，点的轨迹是以点
为圆心，为半径的圆弧，当
时，点的轨迹是以点
为圆心，为半径的圆弧，可得函数
的解析式.
（1）点的轨迹如下图1所示，所以该函数相邻两个零点之间的距离为
，
在当
时，点轨迹与轴所围成的图形的面积
，
所以
，
由图示可以得函数是偶函数，
在
上单调递增，在
上单调递减，
函数的零点是
.得下表：
函数性质 | 结论 | |
奇偶性 | 偶函数 | |
单调性 | 递增区间 |
|
递减区间 |
| |
零点 |
| |
（2）令，则函数都是偶函数，且两个函数一定交于原点，
要使方程在区间上有11个根，只需两函数在上有5个交点，做出图像如下图2，
当时，
，依题意需方程
在有两个根，
对进行参变分离得
，令
，则
，对称轴
，
当
时，
，
当时，
，
当
时，
，
要使方程在有两个根，
则需
与
在有两个交点，且
，
所以
，解得
；
当时，
，依题意需方程
在有两个根，
对进行参变分离得
，
令
，则
，对称轴
，
当
时，
，
当时，
，
当
时，
，
要使方程在有两个根，
则需与
在有两个交点，且，
所以
，解得
，
又
，所以实数的取值范围是
；
（3）通过图1可知，
当时，点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆弧，所以
，
当时，点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆弧，所以
，
当时，点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆弧，所以
，
当时，点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆弧，所以，
，
所以函数.
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【题目】已知在平面直角坐标系
中，圆
的参数方程为
（
为参数）．以原点
为极点，
轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．
（1）求圆的普通方程及其极坐标方程；
（2）设直线
的极坐标方程为
，射线
与圆的交点为
（异于极点），与直线的交点为
，求线段
的长．
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【题目】设
，在线段
上任取两点（端点A，B除外 ），将线段分成了三条线段，若分成的三条线段长度均为正整数，则这三条线段可以构成三角形的概率是 ____________；若分成的三条线段的长度均为正实数，则这三条线段可以构成三角形的概率是 _________.
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【题目】某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了2015年12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如表：
日期 | 12月1日 | 12月2日 | 12月3日 | 12月4日 | 12月5日 |
温差x（℃） | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 |
发芽数y（颗） | 23 | 25 | 30 | 26 | 16 |
该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．
（1）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程
bx+a；
（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得到的线性回归方程是否可靠？
，
．
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【题目】选修4-4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点
处，极轴与
轴的正半轴重合，且长度单位相同；曲线
的方程是
，直线
的参数方程为
（
为参数，
），设
， 直线
与曲线
交于 
两点．
（1）当
时，求
的长度；
（2）求
的取值范围．
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【题目】在平面直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
为参数），在以坐标原点
为极点，
轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点
的极坐标为
，直线
的极坐标方程为
．
（1）求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程；
（2）若
是曲线上的动点，
为线段
的中点，求点到直线的距离的最大值．
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【题目】某商店销售某海鲜，统计了春节前后50天该海鲜的需求量
（
，单位：公斤），其频率分布直方图如图所示，该海鲜每天进货1次，商店每销售1公斤可获利50元；若供大于求，剩余的削价处理，每处理1公斤亏损10元；若供不应求，可从其它商店调拨，销售1公斤可获利30元.假设商店每天该海鲜的进货量为14公斤，商店的日利润为
元.
（1）求商店日利润关于需求量的函数表达式；
（2）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替.
①求这50天商店销售该海鲜日利润的平均数；
②估计日利润在区间
内的概率.
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【题目】若命题甲是命题乙的充分非必要条件，命题丙是命题乙的必要非充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
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