Question

已知
(Ⅰ)若,求的表达式；
（Ⅱ）若函数和函数的图象关于原点对称，求函数的解析式；
（Ⅲ）若在上是增函数，求实数的取值范围.

Answer 1

（1）f（x）=sin²x+2sinx
（2）g(x)= -sin²x+2sinx
(3) .

解析试题分析：（1）
=2+sinx-C.os²x-1+sinx=sin²x+2sinx
（2）设函数y="f" (x)的图象上任一点M(x₀,y₀)关于原点的对称点为N（x,y）
则x₀= -x,y₀= -y
∵点M在函数y="f" (x)的图象上
,即y= -sin²x+2sinx
∴函数g(x)的解析式为g(x)= -sin²x+2sinx
(3)设sinx=t,(-1≤t≤1)
则有
①当时，h(t)=4t+1在[-1,1]上是增函数，∴λ= -1
②当时，对称轴方程为直线.
ⅰ) 时，，解得
ⅱ)当时，,解得
综上，.
考点：本题主要考查向量的坐标运算，三角函数的性质，三角函数恒等变换，二次函数图象和性质。
点评：典型题，本题较好地把向量、三角函数、二次函数结合在一起进行考查，体现了高考考查的重点，本题运用了换元思想，也很好地运用了转化与化归思想。