Question

若对满足条件x+y+3=xy（x＞0，y＞0）的任意x，y，xy-a

xy

+1≥0恒成立，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：由x＞0，y＞0，利用基本不等式可得xy=3+x+y≥3+2

xy

，化为(

xy

-3)(

xy

+1)≥0，可得

xy

≥3．可知：

xy

≥3时，xy-a

xy

+1≥0恒成立?a≤(

xy

+

1

xy

)min，

xy

≥3．令

xy

=t≥3，g（t）=t+

1

t

．再利用导数研究函数的单调性即可．

解答： 解：∵x＞0，y＞0，∴xy=3+x+y≥3+2

xy

，化为(

xy

-3)(

xy

+1)≥0，解得

xy

≥3，当且仅当x=y=3时取等号．
由

xy

≥3时，xy-a

xy

+1≥0恒成立?a≤(

xy

+

1

xy

)min，

xy

≥3．
令

xy

=t≥3，g（t）=t+

1

t

．
则g′(t)=1-

1

t2

=

(t-1)(t+1)

t2

＞0，
∴函数g（t）在[3，+∞）上单调递增．
∴g（t）_min=g（3）=3+

1

3

=

10

3

．
∴a≤

10

3

．
∴实数a的取值范围是(-∞，

10

3

]．
故答案为：(-∞，

10

3

]．

点评：本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法、利用导数研究函数的单调性极值与最值等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．