Question

9．设函数y=lnx的反函数为y=g（x），函数f（x）=$\frac{{x}^{2}}{e}$•g（x）-$\frac{1}{3}$x³-x²（x∈R）
（Ⅰ）求函数y=f（x）的单调区间
（Ⅱ）求y=f（x）在[-1，2ln3]上的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得g（x）=e^x，从而化简f（x）=x²•e^x-1-$\frac{1}{3}$x³-x²，再求导f′（x）=（2x+x²）•e^x-1-x²-2x=x（x+2）（e^x-1-1），由导数的正负确定函数的单调性；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函数y=f（x）在[-1，0）上是增函数，在（0，1）上是减函数，在（1，2ln3]上是增函数；从而比较f（-1）与f（1）的大小即可．

解答 解：（Ⅰ）由题意，g（x）=e^x，f（x）=x²•e^x-1-$\frac{1}{3}$x³-x²，
∴f′（x）=（2x+x²）•e^x-1-x²-2x=x（x+2）（e^x-1-1），
令f′（x）=0得，
x=-2或x=0或x=1；
故当x∈（-∞，-2）∪（0，1）时，f′（x）＜0；
当x∈（-2，0）∪（1，+∞）时，f′（x）＞0；
故函数y=f（x）的单调增区间为（-2，0）和（1，+∞）；
单调减区间为（-∞，-2）和（0，1）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
函数y=f（x）在[-1，0）上是增函数，在（0，1）上是减函数，
在（1，2ln3]上是增函数，
且f（-1）=$\frac{1}{{e}^{2}}$-$\frac{2}{3}$＜0，f（1）=-$\frac{1}{3}$＞f（-1）；
故y=f（x）在[-1，2ln3]上的最小值为$\frac{1}{{e}^{2}}$-$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了反函数的定义，同时考查了导数的综合应用及化简求值，属于中档题．