Question

对于函数f（x）=ax³，（a≠0）有以下说法：
①x=0是f（x）的极值点．
②当a＜0时，f（x）在（-∞，+∞）上是减函数．
③若a＞0且x≠0则f(x)+f(

1

x

)有最小值是2a．
④f（x）的图象与（1，f（1））处的切线必相交于另一点．
其中说法正确的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：导数的综合应用

分析：对于①②，求出原函数的导函数，由导函数的符号分析原函数的单调性，从而判断原函数极值的情况；
对于③，由基本不等式求出函数最值，从而判断③的真假；
对于④，求出f（x）的图象在（1，f（1））处的切线方程，和原函数联立后求解x的值，由解得的x的值判断命题④的真假．

解答： 解：由f（x）=ax³，（a≠0），得f′（x）=3ax²．
①当a＞0时，f′（x）≥0，当a＜0时，f′（x）≤0，
∴函数f（x）是定义域内的单调函数，f（x）无极值点．命题①错误；
②当a＜0时，f′（x）≤0，∴f（x）在（-∞，+∞）上是减函数，命题②正确；
③a＞0且x≠0时，f(x)+f(

1

x

)=ax3+

a

x3

=a(x3+

1

x3

)．
若x＜0，则a(x3+

1

x3

)=-a[(-x3)+

1

(-x3)

]≤-2a．
∴命题③错误；
④f′（1）=3a，f（1）=a，
∴f（x）的图象在（1，f（1））处的切线方程为：y-a=3a（x-1），即y=3ax-2a．
联立

y=3ax-2a y=ax3

，得ax³-3ax+2a=0，即x³-3x+2=0，解得：x=-2或x=1．
∴f（x）的图象与（1，f（1））处的切线必相交于另一点（-2，-8a）．
∴正确命题的序号是②④．
故答案为：②④．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查了利用基本不等式求最值，解答的关键是掌握原函数的单调性与其导函数符号间的关系，是中档题．