Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点M（0，

3

），F为左焦点，且∠OFM=60°，O是坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）P是椭圆上位于x轴上方的一点，且满足PF⊥x轴．设A，B是椭圆C上的两个动点，且

PA

+

PB

=λ

PO

（0＜λ＜4，且λ≠2）．求证：直线AB的斜率等于椭圆C的离心率；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求△OAB面积的最大值，并求此时λ的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）根据椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点M（0，

3

），F为左焦点，且∠OFM=60°，求出几何量，即可求得椭圆E的方程；
（Ⅱ）利用

PA

+

PB

=λ

PO

（0＜λ＜4，且λ≠2），确定坐标之间的关系，点的坐标代入方程，利用点差法，即可证得结论；
（Ⅲ）设直线AB的方程与3x²+4y²=12联立消去y并整理，求出|AB|、点O到直线AB的距离，从而可得△OAB的面积，利用基本不等式求最大值，即可得到结论．

解答： （Ⅰ）解：∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点M（0，

3

），
∴b=

3

，
∵∠OFM=60°，
∴tan60°=

b

c

=

3

，
∴c=1，
∴a²=4，
∴椭圆E的方程为：

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）证明：∵P是椭圆上位于x轴上方的一点，且满足PF⊥x轴，
∴P（-1，

3

2

）
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由

PA

+

PB

=λ

PO

得（x₁+1，y₁-

3

2

）+（x₂+1，y₂-

3

2

）=λ（1，-

3

2

），
所以x₁+x₂=λ-2，y₁+y₂=

3

2

（2-λ）…①…（5分）
又3x₁²+4y₁²=12，3x₂²+4y₂²=12，
两式相减得3（x₁+x₂）（x₁-x₂）+4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0…．②
以①式代入可得AB的斜率k=

y1-y2

x1-x2

=

1

2

=

c

a

=e；
（Ⅲ）解：设直线AB的方程为y=

1

2

x+t，与3x²+4y²=12联立消去y并整理得 x²+tx+t²-3=0，
△=3（4-t²）＞0，则2＜t＜2，x₁+x₂=-t，x₁x₂=t²-3
|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=

1+ 1 4

•

3(4-t2)

=

15

2

•

4-t2

，
点O到直线AB的距离为d=

2|t|

5

，
△OAB的面积为S=

1

2

|AB|×d=

3

2

•

4-t2

|t|=

3

2

•

(4-t2)t2

≤

3

2

•

4-t2+t2

2

=

3

当且仅当±

2

时，取得最大值

3

，
∴S的最大值为

9

2

．
此时x₁+x₂=-t=±

2

=λ-2，
∴λ=2±

2

．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查点差法，考查直线与椭圆的位置关系，考查基本不等式的运用，确定三角形的面积是关键．