Question

已知g（x）=-x²-4，f（x）为二次函数，满足f（x）+g（x）+f（-x）+g（-x）=0，且f（x）在[-1，2]上的最大值为7，则f（x）=

 

．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：设出函数的解析式，由f（x）+g（x）+f（-x）+g（-x）=0，可得二次项系数和常数项，结合二次函数的图象和性质分类讨论f（x）在[-1，2]上的最大值为7时，一次项系数的取值，最后综合讨论结果，可得答案．

解答： 解：∵f（x）为二次函数，
∴设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），
则f（x）+g（x）+f（-x）+g（-x）=（ax²+bx+c）+（-x²-4）+（ax²-bx+c）+（-x²-4）=（2a-2）x²+2c-8=0
即

2a-2=0 2c-8=0

解得：

a=1 c=4

∴f（x）=x²+bx+4，
∵f（x）的图象是开口朝上且以直线x=-

b

2

为对称轴的抛物线
故当-

b

2

≤

1

2

，即b≥-1时，f（x）在[-1，2]上的最大值为f（2）=2b+8=7，解得b=-

1

2

故当-

b

2

≥

1

2

，即b≤-1时，f（x）在[-1，2]上的最大值为f（-1）=-b+5=7，解得b=-2，
∴f（x）=x²-

1

2

x+4或f（x）=x²-2x+4，
故答案为：x²-

1

2

x+4或x²-2x+4．

点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，待定系数法求函数的解析式，熟练掌握选定系数法的步骤和二次函数的图象和性质是解答的关键．