Question

8．（设全集是实数集R，A={x|2x²-7x+3≤0}，B={x|x²+a＜0}，
（1）当a=-4时，求A∩B和A∪B；
（2 若（∁_RA）∩B=B，求负数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=-4时，解一元二次不等式求得A 和B，再根据两个集合的并集的定义求得 A∪B．
（2）由（∁_RA）∩B=B，可得 B⊆（∁_RA）．求得（∁_RA）和 B，考查集合的端点值的大小关系可得$\sqrt{-a}$≤$\frac{1}{2}$，从而求得负数a的取值范围．

解答 解：（1）当a=-4时，A={x|2x²-7x+3≤0}={x|$\frac{1}{2}$≤x≤3}，B={x|x²+a＜0}={x|x²＜4}={x|-2＜x＜2}，
∴A∪B={x|-2＜x≤3}．
（2）若（∁_RA）∩B=B，则 B⊆（∁_RA）．又（∁_RA）={x|x＜$\frac{1}{2}$，或 x＞3}，且a＜0，
∴B={x|-$\sqrt{-a}$＜x＜$\sqrt{-a}$}，
∴$\sqrt{-a}$≤$\frac{1}{2}$，解得-$\frac{1}{4}$≤a＜0，即负数a的取值范围为[-$\frac{1}{4}$，0）．

点评 本题主要考查一元二次不等式的解法，两个集合的交集、并集、补集的运算，集合间的包含关系，属于基础题．